流体力学シリーズ3「分子気体力学」冒頭 p. 2 に次の説明がある（一部改変）．

（同一の単原子分子からなる気体を考える．また，理想気体の条件を入れる．）位置ベクトル $X _ i$ ，分子速度 $\xi _ i$ を変数とする6次元空間内の点 $(X _ i, \xi _ i)$ における体積素片 $d\boldsymbol{X}d\boldsymbol{\xi} \ (d\boldsymbol{X} = dX _ 1 dX _ 2 dX _ 3, d\boldsymbol{\xi} = d\xi _ 1 d\xi _ 2 d\xi _ 3)$ を考える．時刻 $t$ におけるこの体積素片内の分子数 $dN$ が $X _ i, \xi _ i, t$ の関数 $f(X _ i, \xi _ i, t)$ を用いて

$\displaystyle dN = \frac{1}{m}f(X _ i, \xi _ i, t)d\boldsymbol{X}d\boldsymbol{\xi} \tag{2.1}$

と表されるとき， $f$ または $f/m$ を気体の速度分布関数という（ $m$ は分子の質量）．巨視的変数：気体の密度 $\rho$ ，流速 $v _ i$ ，温度 $T$ ，圧力 $p$ ，単位質量当たりの内部エネルギー $e$ ，応力テンソル $p _ {ij}$ ，熱流ベクトル $q _ i$ は速度分布関数 $f$ のモーメントとして次の式で定義される：

$\displaystyle \rho = \int f d\boldsymbol{\xi}, \tag{2.2}$
$\displaystyle v _ i = \frac{1}{\rho} \int \xi _ i f d\boldsymbol{\xi}, \tag{2.3}$
$\displaystyle 3RT = \frac{1}{\rho} \int (\xi _ i - v _ i) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi}, \tag{2.4}$
$\displaystyle p = \frac{1}{3} \int (\xi _ i - v _ i) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi} = R \rho T, \tag{2.5}$
$\displaystyle e = \frac{1}{\rho} \int \frac{1}{2} (\xi _ i - v _ i) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi} = \frac{3}{2} RT, \tag{2.6}$
$\displaystyle p _ {ij} = \int (\xi _ i - v _ i)(\xi _ j - v _ j) f d\boldsymbol{\xi}, \tag{2.7}$
$\displaystyle q _ i = \int \frac{1}{2} (\xi _ i - v _ i)(\xi _ j - v _ j) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi}. \tag{2.8}$

$p$ と $p _ {ij}$ がややこしいが，添え字がついている方が応力テンソル． $f$ について，特に平衡状態では次のMaxwell分布． $\displaystyle f = \frac{\rho}{(2 \pi RT) ^ {3/2}} e ^ {- \frac{(\xi _ i - v _ i) ^ 2}{2RT} } \tag{1}$ 「定義」とあるのでそのまま飲み込んでも良いけれど，式の形から直感的でないと感じた（一部，特に後半）ので最低限の定義から導出したメモ．

$\rho$ について

(2.1)両辺に $m$ をかけて， $d\boldsymbol{X}$ 内のすべての速度を持つ分子について合算する．

積分後，左辺は $d\boldsymbol{X}$ 内の分子の質量の総和で，これを $d\boldsymbol{X}$ で割れば単位体積あたりの気体の質量；すなわち気体密度となる．次式が得られる． $\displaystyle \rho = \frac{ \int _ {\boldsymbol{\xi}} mdN }{ d\boldsymbol{X} } = \int _ {\boldsymbol{\xi}} f d\boldsymbol{\xi} \tag{2.2*}$

$v _ i$ について

(2.1)両辺に $m\xi _ i$ をかけて， $d\boldsymbol{X}$ 内のすべての速度を持つ分子について合算する．

積分後，左辺は $d\boldsymbol{X}$ 内の分子の $\xi _ i$ 方向運動量の総和で，これを $d\boldsymbol{X}$ で割れば単位体積あたりの気体の運動量となる． $\displaystyle \rho v _ i = \int _ {\boldsymbol{\xi}} \xi _ i f d\boldsymbol{\xi} \tag{2.3*}$

$e$ について

(2.1)両辺に $\frac{1}{2}m|\xi _ i | ^ 2$ をかけて， $d\boldsymbol{X}$ 内のすべての速度を持つ分子について合算する．

積分後，左辺は $d\boldsymbol{X}$ 内の分子の全エネルギーの総和（※分子間力のポテンシャルは無視）で，これを $d\boldsymbol{X}$ で割った $\displaystyle \int _ {\boldsymbol{\xi}} \frac{1}{2} |\xi _ i| ^ 2 f d\boldsymbol{\xi}$ が単位体積あたりの気体の全エネルギーとなる．一方，気体の全エネルギーを巨視的変数で表すと，運動エネルギー・内部エネルギーに分離された $\displaystyle \frac{1}{2} \rho v _ i ^ 2 + \rho e$ の形である．以上より，次の関係式が成立．

$\displaystyle \int _ {\boldsymbol{\xi}} \frac{1}{2} |\xi _ i| ^ 2 f d\boldsymbol{\xi} = \frac{1}{2} \rho v _ i ^ 2 + \rho e$

この式を以下のように変形して，(2.6) が得られる．

2行目と3行目の変形では，既に導出した (2.3*) を用いている．また，ここで導出した $e$ に対して，単原子理想気体に対する $\displaystyle e = C _ v T = \frac{3}{2} RT$ の定義から， $\displaystyle 3RT = 2e = \frac{1}{\rho} \int _ {\boldsymbol{\xi}} \left( \xi _ i - v _ i \right) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi} \tag{2.4*}$ が導出される．さらに，平衡状態の状態方程式： $p = \rho RT$ を (2.4*) に適用すると， $\displaystyle p = \rho RT = \frac{1}{3} \int _ {\boldsymbol{\xi}} \left( \xi _ i - v _ i \right) ^ 2 f d\boldsymbol{\xi} \tag{2.5*}$ が導出される．(2.5*) (2.6*) では， $f$ が平衡状態で熱力学的意味あり．非平衡状態の場合でも (2.5*) (2.6*) の形を適用して，”非平衡状態に拡張された熱力学的変数”の扱い．

$p _ {ij}, q _ j$ について

応力テンソル，熱流ベクトルについては，次の各流量から考える．

質量流量・運動量流量・エネルギー流量

下図のように気体中に仮想曲面を考え， $\boldsymbol{X}$ 周りの微小柱状領域を考える．

f:id:tentou0:20200606172925p:plain — 図：仮想曲面と柱状領域

$\boldsymbol{X}$ における曲面の外側へ向かう法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ と設定すると， $\boldsymbol{X}$ 近傍の，ある $\boldsymbol{\xi}$ ~ $\boldsymbol{\xi} + d\boldsymbol{\xi}$ の速度を持つ分子で，図の柱状領域に含まれる数は， $f$ の定義より

$\displaystyle \left(dN =\right) \frac{1}{m} f d\boldsymbol{X}d\boldsymbol{\xi} = \frac{1}{m} f dS|\boldsymbol{\xi} \cdot \boldsymbol{n}| \Delta t d\boldsymbol{\xi}$

である．この分子数をすべての $\boldsymbol{\xi}$ で合算すると， $\Delta t$ 間に $dS$ を通過する分子数が次のように求まる． $\displaystyle \int _ {\boldsymbol{\xi}} \frac{1}{m} f dS\boldsymbol{\xi} \cdot \boldsymbol{n} \Delta t d\boldsymbol{\xi} \tag{2}$

質量流量： $MdS \Delta t$

(2) に分子1個の質量 $m$ をかけて，質量流束を得る．

流体力学では $M = \rho v _ i n _ i$ で表される（導出は略，柱状領域を $\boldsymbol{v}$ に対して考える）ので，これらを比較して $\boldsymbol{n}$ との内積を外し， $\displaystyle \rho v _ i = \int _ {\boldsymbol{\xi}} \xi _ i f d\boldsymbol{\xi} \tag{2.3*}$ が得られる．（総和規約： $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$ と $v _ i n _ i$ は同義）

運動量流量： $P _ i dS \Delta t$

(2) に分子1個の運動量 $m\xi _ i$ をかけて，運動量流束を得る．

流体力学では $P _ i = \rho v _ i v _ j n _ j + p _ {ij} n _ j$ で表される（導出は略）ので，これらを比較して $\boldsymbol{n}$ との内積を外し，以下の式変形により (2.7) が得られる．

2行目と3行目の変形では，既に導出した (2.2*) (2.3*) を用いている．

エネルギー流量： $E dS \Delta t$

(2) に分子1個のエネルギー $\frac{1}{2}m\xi _ i ^ 2$ をかけて，エネルギー流束を得る．

流体力学では $E = ( \frac{1}{2} \rho v _ i ^ 2 + \rho e ) v _ j n _ j + p _ {ij} v _ i n _ j + q _ j n _ j$ で表される（導出は略）ので，これらを比較して $\boldsymbol{n}$ との内積を外し，以下の式変形により (2.8) が得られる．

3 行目 ~ 5行目の変形では，既に導出した (2.3*) (2.6*) (2.7*) を用いている．

あとがき

大学院の講義で途中まで導出されていたので折角ということで全部導出してみたけれど，結構頭混乱してきた...　速度分布関数でのEuler方程式，NS式の導出にもチャレンジしたい．この分野はBKW方程式などの形くらいまでしか触れなかったので，実用的な展開を知りたい．（講義で紹介されていた気がする...）

ご指摘，ご意見等ありましたらコメント等にてお願いします．

転ばぬ先の備忘録

記事を書くための活性化エネルギーになかなか到達しない

速度分布関数を用いた巨視的変数の定義